Начало формуле «Бинома Ньютона» было положено ещё 150 лет до н. э. древнеиндийским математиком Ачарья Пингала (Индия). В комментарии Халаюдха к трудам Пингалы «Чандамшастра» - это труд из восьми глав в стиле поздней Сутры, который невозможно полностью понять без комментария. Он был датирован последними столетиями до нашей эры. Варахамихира использовал для вычисления биномиальных коэффициентов. Махавира рассматривал другую формулу для биномиальных коэффициентов, используя умножение. В 1068 году четыре столбца первых шестнадцати строк были даны математиком Бхаттотпала.
Некоторые правила сокращенного умножения были известны еще около 4 тыс. лет назад. Их знали вавилоняне, греки и некоторые другие народы древности. В Древней Греции и Древнем Вавилоне жили и работали замечательные ученые математики, философы, астрономы, физики, которые всю свою жизнь отдали служению науке, Марк Витрувий Поллион и Секст Юлий Фронтин. Начиная с VI века до н. э., у древнегреческих математиков встречаются общие утверждения о тождественном преобразовании многочленов, применении формул и правил, которые установил древнегреческий ученый Пифагор Самосский.
Было принято выражать все алгебраические утверждения в геометрической форме. Особенно широко алгебраическими тождествами пользовался в III веке до н.э. древнегреческий геометр Евклид (Эвклид). В своих «Началах», состоящих из 13 книг, вторую он посвятил алгебраическим тождествам (всего тождеств было 10). У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили не «а», а «квадрат на отрезке а», не «ав», а «прямоугольник, содержащийся между отрезками а и в». Например, тождество (а + в)^2 = а + 2ав + в во второй книге «Начал» Евклида формулировалось так: « Если прямая линия (имеется в виду отрезок) как-либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между отрезками». Доказательство опиралось на геометрические соображения.
Первым ученым, который отказался от геометрических способов выражения и перешел к алгебраическим уравнениям, был древнегреческий ученый-математик, живший в Египте в III веке до н. э. Диофант Александрийский. В своей книге «Арифметика» Диофант формулы квадрата суммы, квадрата разности и разности квадратов рассматривал уже с арифметической точки зрения.
Также вопросами исследования многочленов занимался и иранский поэт, математик, астроном, философ живший в XI-XII вв. (по европейскому летоисчислению) в Персии Гийяс-ад-Дин Абу-ль-Фатх Омар ибн-Эбрахим Хайям Нишапури. Первый математический трактат Омара Хайяма «Трудности арифметики» пока не обнаружен. Из других работ известно, что он содержит сведенья о разработанном Хайямом общем приеме извлечения корня любой степени с натуральным показателем «методом индийцев», т.е. с помощью правил (а+b)^2 и (a+b)^3. Основываясь на известных фактах, ученые предполагают, что Хайям открыл формулу возведения двучлена a+b в степень n. Отрывки из работ Омара Хайяма, написанных около 1100 г.: «Индусские методы нахождения сторон квадратов и кубов основаны… на знании квадратов девяти чисел 1, 2, …, 9 вместе с их произведениями, образованными при перемножении их друг с другом, двух и трех одновременно. Я написал работу, которая устанавливает корректность этих методов, и … расширил метод для случая 4, 5, 6, … корней [столь высоких, как пожелаете], которого до сих пор не было. Доказательства я дал… чисто арифметические, основанные на арифметике «Элементов» [Евклида]»
Следующие древние учёные независимо друг от друга работали в том же направлении: Фахр ад-Дин Абу Бакр Мухаммад ибн ал-Хусайн аль-Караджи (Багдад- Карадж) и Аль-Самаваль аль-Магриби (Персия) вXII-м веке; Цзя Сянь (Пиндиншань) и Ян Хуэй (Китай), Насир ад-Дин Абу Джафар Мухаммад ибн Мухаммад Туси (Персия) (первое дошедшее до нас описание формулы бинома Ньютона содержится в появившейся в 1265 г. книге среднеазиатского математика Туси, где дана таблица чисел (биномиальных коэффициентов) до n=12 включительно), Чень Давэй (Китай) и Фудзита Садаскэ (Япония) в XIII-м веке; Гияс-ад-дин Джамшид ибн Масуд аль-Каши (Персия), Михаэль Штифель (Германия) (многомерное обобщение куба используется Штифелем в 1553 году для иллюстрации формулы бинома, которую он формулирует для любого натурального показателя)., Петрус Апиан (Германия), Леви бен Гершон (Герсонид), Никколо Тарталья и Джероламо Кардано (Италия) (в 1570 ввел биномиальные коэффициенты и биномиальную теорему) - XIII - XIV в.в.
И именно в XVII веке, наряду с Пьером де Ферма, Блезом Паскалем (Франция), Исааком Барроу, Готфрид Вильгельм Лейбниц (Германия), Джон Валлис, Генри Бриггс, Исаак Ньютон (Англия) на современном уровне развития математики данные формулы были обоснованы.
Данной формулой занимались и Абрахам де Муавр (Франция - Англия), Шарль Ренар, Пьер Раймон де Монморт (Франция), Якоб Бернулли (чьё строгое доказательство формулы для натурального n было дано в 1713 г.), Леонард Эйлер (Швейцария) (вслед за Ньютоном, на основе биномиального разложения выводили всю теорию бесконечных рядов), Огюстен Луи Коши (Франции), Улисс Дини (Италия), Нильс Хенрик Абель (Норвегия), Мартин Гарднер (Америка), Генрих Эдуард Гейне (Германия), Вацлав Франциск Серпинский (Польша), Чебышев Пафнутий Львович и Юркин Александр Владимирович (Россия).
В результате исследовательской работы были выявлены следующие названия бинома Ньютона (и «следствий» из него): «геометрическая запись бинома», «арифметическая запись бинома», «Лестница на гору Меру – meru-prastaara», «Треугольник Хайяма», «арифметический ряд («arithmetischen Reihe»)», «арифметический треугольник Японии», «треугольник Тартальи», «треугольник Петра Апиана», «таблица фигуральных чисел», «разложения бинома», «бином», «арифметический треугольник Паскаля», «таблица мистера Паскаля для комбинаций», «биномиальное распределение», «биномиальный ряд», «бесконечная геометрическая прогрессия», «дифференциальный бином», «фрактальный треугольник Серпинского».
Исторически сложилось так, что учёные разных стран (ещё начиная с математики Древнего Вавилона) независимо друг от друга работали в данной тематике (древнегреческие математики знали его геометрическое истолкование), до и после того момента, когда Исаак Ньютон систематизировал и распространил формулу на любое действительное число, следовательно, и называли данную формулу (или производные от неё) по-разному. Предполагается, что те общие результаты работы многих учёных Востока не дошли в свое время до Европы и поэтому здесь их пришлось получать заново.
