Нередко название бинома «Ньютона» считается исторически неудачным, так как оно было известно задолго до Ньютона, а некоторые историки науки приписывают Блезу Паскалю авторство не только треугольника, позволяющего находить биномиальные коэффициенты, но и самой формулы бинома. Они считают, что Паскаль вывел её несколько раньше Ньютона, а тот лишь обобщил формулу для разных показателей степеней.
Действительно, наиболее полное систематическое и научное обоснование свойств числа сочетаний было изложено в "Трактате об арифметическом треугольнике" Б. Паскаля. В нем впервые в истории ученому удалось установить, что биномиальные коэффициенты и сочетания чисел из элементов по - одно и тоже. Поэтому его исследования касались также изучения сочетаний и выяснения их свойств. Разложение бинома натуральной степени аналитически стало записываться в виде:
Обратившись к источникам, касающимся где и когда Ньютон использовал (до её публикации) бином: «В задаче 2 раздела «Предложение XLV. Задача XXXI» книги I «Математические начала натуральной философии» Ньютон, ничтоже сумняшеся, использует открытый им биномиальный ряд — разложение (T − X) n по степеням X. Ньютон законно называет его «нашим рядом», но не столь законно подразумевает его известным, — этот ряд ещё не был тогда опубликован».
«Указания, каким образом такие разложения производить, находятся в сочинении Ньютона ” Analysis per aequationes numero terminorum infinitas“, которое было сообщено в рукописи Барроу в 1669 г., но не было издано до 1711 г. Это есть один из примеров, где Ньютон пользуется в своих ” Началах“ математическими методами, ему известными, но не опубликованными».
Рассмотрим путь данного открытия к его публикации и роль другого учёного в данном вопросе: «… В 1674 году Лейбниц сообщил (в письме, адресованном британскому Королевскому Математическому Обществу), что он располагает "общим аналитическим методом, основанным на бесконечных рядах". В ответ секретарь Общества Ольденбург написал ему, что Ньютон (а также Грегори) уже использовали такие ряды в своих исследованиях. К Ньютону обратились за дополнительной информацией, и в ответном письме (июнь 1676 г.) Ньютон вкратце описал свой метод и привел биномиальную теорему для рациональных значений r. В ответ Лейбниц (в августе 1676 г.) потребовал подробностей, и Ньютон пишет в октябре 1676 г. письмо (в адрес того же секретаря Математического Общества и с просьбой передать эту информацию Лейбницу) с подробным описанием этого и некоторых других результатов и путей их получения. В частности, Ньютон сообщает, что соответствующие результаты были получены им еще до чумы 1665-1666 гг.»
По некоторым историческим источникам есть и такая информация с шифрованными письмами учёными: «В 1676 году Ньютон пишет через Ольденбурга Лейбницу письмо, в котором передает много новых данных о разложении в ряды, сообщает и знаменитый бином (без доказательства); о методе бесконечно малых (то есть о дифференциальном исчислении), однако, в письме не говорится. В следующем письме к Ольденбургу от 24 октября 1676 года Ньютон говорит о новом методе и приводит результаты, достигнутые благодаря его применению; самую же сущность метода он сообщает в зашифрованной строчке:
6 aeccdae 13eff 7i 3l 9n 4о 4qrr 4s 9t 12vx
Числовые коэффициенты, стоящие перед буквами, указывают, сколько раз данная буква повторяется в тексте зашифрованной фразы. Если знать, что фраза написана по-латински, то при хорошем знакомстве с языком ее можно расшифровать. От этого, правда, дело не прояснилось. Фраза в расшифрованном виде была опубликована в «Началах». Звучит она так: «Data aequatione quotcunque fluentes quantitates involvente fluxiones invenire et vice versa» (Дано уравнение, заключающее в себе текущие количества (флюенты), найти течения (флюксии) и наоборот). Понять отсюда сущность открытия было невозможно. Детальное изложение метода скрыто более сложной шифровкой. Лейбниц отвечает на загадки Ньютона письмом от 21 июня 1677 года, где достаточно ясно излагает основы дифференциального исчисления, отличающегося, по существу, от метода флюксий только символикой. Ньютон на письмо Лейбница не ответил. На этом переписка кончилась».
Итак, именно тот результат, что по праву носит название бинома Ньютона, — биномиальная теорема для дробных и отрицательных показателей степени, — «был получен Ньютоном около 1665 г., а опубликован им в письме, направленном в Математическое Общество (обычный способ публикации в то время) в 1676 году. До тех пор потребности в публикации, видимо, не возникало, но раз уж Лейбниц высказал претензию на свой приоритет».
Гениальность Ньютона в том и заключается, что он смог записать формулу в общем виде в одну строку для любого n (n - степень бинома), благодаря чему имеет право на то, чтобы бином носил его имя.
Исторический процесс происхождения формулы бинома Ньютона свидетельствует о том, что «важная математическая проблема не возникает неожиданно в голове одного ученого. Подход к ней осуществляется на протяжении длительного времени многочисленными известными и безымянными исследователями. Недаром И. Ньютон однажды обмолвился о том, что не достиг бы своих эпохальных открытий, если бы не стоял на плечах гигантов».
