Формула, которая позволяет выписывать разложение алгебраической суммы двух слагаемых произвольной степени, впервые была предложена Ньютоном в 1664–1665 г. и он установил, что формула:
обобщается на случай произвольных (дробных и отрицательных) показателей, но при этом получается сумма из бесконечного множества слагаемых.
Именно он показал, что при | х | < 1
При п = — 1 формула превращается в известную формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии:
и получила исторически название бинома Ньютона (а именно, биномиальная теорема для дробных и отрицательных показателей степени, — была получена Ньютоном около 1665 г., а опубликована им в письме, направленном в Математическое Общество в 1676 году).
Заслуга Ньютона в том, что он распространил её на любое действительное n, т. е. он показал, что формула верна и тогда, когда n является рациональным или иррациональным, положительным или отрицательным числом. Потому что, в 17 веке Ньютон был первым человеком в мире, начавшим систематически употреблять в алгебре показатели, отличные от целых положительных. Распространение этой формулы на действительные показатели – имело огромное значение для развития математики.
