Примеры реальных объектов, в орнаментах которых можно

заметить фрактал "треугольник Серпинского"

  Что общего у цветов, насекомых и животных, деревьев, водной глади, архитектурных построек разных городов и побережья Крыма с высоты птичьего полёта? Оказывается, что все они в явном, либо завуалированном виде обладают свойством самоподобия, то есть в них присутствует объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и так далее, то есть ветка подобна всему дереву. Бутоны и лепестки цветов похожи на все соцветие, а каждый бутон состоит из набора меньших бутонов, каждый из которых подобен большему. Снимки морского побережья в иллюминатор самолёта: береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя.

   Это свойство объектов французский математик Бенуа Мандельброт в 1975 году назвал фрактальностью, а сами объекты — фракталами. Большой вклад в данное понятие внёс и такой великий польский математик, как Вацлав Серпинский, в честь которого названо много различных видов фракталов: треугольник Серпинского (также известен как «салфетка Серпинского»), ковёр Серпинского  ("квадратная снежинка Серпинского"), кривая Серпинского («Универсальная кривая Серпинского», «Треугольная кривая Серпинского», «Кривая стрелки»), наконечник стрелки Серпинского, тетраэдр Серпинского или тетрис  («Пирамида Серпинского»).

Фракталом называют геометрическую фигуру, которая удовлетворяет одному или нескольким из следующих свойств:

• обладает сложной структурой при любом увеличении;

• является (приближенно) самоподобной;

• обладает дробной фрактальной размерностью, которая больше топологической;

• может быть построена рекурсивными процедурами.

   При дальнейшем изучении фракталов оказалось, что многие из них обладают необычными свойствами и находят самые различные применения в физике, химии, биологии, радиотехнике, информатике, экономике и повседневной жизни (в гардеробе (в современной одежде принт- изображение треугольников Серпинского), интерьере (обои и трафареты для стен, с орнаментом в виде различных вариаций треугольника Серпинского, предметы интерьера) , орнаментах и узорах разных народов (орнамент коми-зырян, белорусские узоры,  узор на бубне народов Сибири) - в различных вариациях присутствуют изображения в виде треугольника Серпинского. (Фото реальных объектов)

  Как правило, все фракталы делят на две большие группы: геометрические (или конструктивные) и динамические (или алгебраические). Иногда их выделяют как стохастические фракталы, самостоятельную группу.

    Прежде всего, фракталы - область удивительного математического искусства, когда с помощью простейших формул и алгоритмов получаются картины необычайной красоты и сложности. В контурах построенных изображений нередко угадываются листья, деревья и цветы. Нельзя обойти стороной и применения фракталов в самой математике. В теории множеств множество Кантора доказывает существование совершенных нигде не плотных множеств, в теории меры самоаффинная функция "Канторова лестница" является хорошим примером функции распределения сингулярной меры.

      В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании таких нелинейных процессов, как турбулентное течение жидкости (турбулентные потоки хаотичны и поэтому их сложно точно смоделировать. Именно здесь помогает переход к из фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных потоков), сложные процессы диффузии и адсорбции, описание кривизны поверхностей. При помощи фракталов можно смоделировать и языки пламени, облака и прочее… Они также используются при моделировании пористых материалов, в связи с тем, что имеют очень сложную геометрию.  

   В механике и физике фракталы применяются благодаря уникальному свойству повторять очертания многих объектов природы. Они позволяют приближать деревья, горные поверхности и трещины с более высокой точностью, чем приближения наборами отрезков или многоугольников (при том же объеме хранимых данных). Фрактальные модели, как и природные объекты, обладают "шероховатостью", а свойство это сохраняется при сколь угодно большом увеличении модели. Наличие на фракталах одинаковой меры позволяет применять интегрирование, теорию потенциала, использовать их вместо стандартных объектов в уже исследованных уравнениях.

Астрономия. География. Геология. Физика

     Фракталы помогают геофизикам определять форму и характер растрескиваний земной коры и особенности распределения в ее слоях различных химических элементов, а астрономам – моделировать формирование планетных систем и галактик, характер рассеивания лучей и космической пыли, изучение галактики, позволило учёным приблизиться к пониманию о строении Вселенной и о параллельных мирах.

При вычислении протяженности береговой линии (т. к.  побережья островов и континентов имеют некоторую фрактальную размерность) можно очень точно вычислить длины побережий.

   Физики наблюдают, как в турбулентных потоках большие вихри порождают вихри поменьше, а те ещё меньше. Такое деление спиралевидных энергий наблюдалось до тех видимых пределов, которые технически доступны учёным. Фрактальные свойства присутствуют в структуре и движении энергии электрического разряда, воды, в росте растений, окружая нас повсюду.

Компьютерная графика и компьютерные системы

   Одни из наиболее мощных приложений фракталов лежат в компьютерной графике, компьютерной живописи, так как фракталы – это удивительно красивые и таинственные геометрические объекты, сочетающие в себе богатейшую цветовую палитру, многообразие и повторяемость геометрических форм.

Склонность фракталов походить на горы, цветы и деревья эксплуатируется некоторыми графическими редакторами. Фрактальные деревья, горы и целые пейзажи задаются простыми формулами, легко программируются и не распадаются на отдельные треугольники и кубики при приближении.

Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При этом, картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами (такими как jpeg или gif). Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении картинки, не наблюдается эффекта пикселизации (увеличения размеров точек до размеров, искажающих изображение). При фрактальном же сжатии, после увеличения, картинка часто выглядит даже лучше, чем до него. Для сжимающего изображения основная картинка остаётся неподвижной точкой. Фирма «Microsoft» использовала один из вариантов данного алгоритма при издании своей энциклопедии.

Фрактальное строение ландшафта позволило создавать 3D модели гор, облаков, берега, что широко используется в компьютерной графике кинематографа, программ обучения водителей, лётчиков, а также в компьютерных играх. По факту, это есть создание иллюзорной копии нашего мира (иллюзии внутри иллюзии).

Живопись

   Фрактальная живопись – одно из направлений современного арта, популярное среди цифровых художников. Фрактальные картины необычны, завораживающе действуют на зрителя, рождая яркие и пылающие образы. Сказочные абстракции создаются посредством скучных математическим формул, но воображение воспринимает их живыми. В изобразительном искусстве существует направление, занимающееся получением изображения случайного фрактала – «фрактальная монотипия» или «стохатипия».

     Даже на некоторых картинах живописцев можно заметить, что художники, рисуя, например, гребень волны, горы, кроны деревьев, используют фракталы, подмеченные в природе.

Литература

В 1919 году мотивом нескольких графических произведений Георгия Нарбута стали изображения треугольника Серпинского, в частности эта фигура использована им при оформлении нескольких выпусков журнала «Мистецтво» (№ 3—5/6, 1919 и № 1, 1920) 

Радиотехника. Компьютерные сети.

   Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы (например, с геометрией снежинок), что сильно уменьшает их размеры и вес. На основе треугольника Серпинского также могут быть изготовлены многодиапазонные антенны. 

    Принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения сведений об узлах сети использует система назначения IP-адресов. Таким образом, можно сделать вывод, что принцип фрактального сжатия информации обеспечивает децентрализованную работу всей сети, а потому работа в ней протекает максимально устойчиво.

Биология. Медицина.

   В биологии фракталы применяются для моделирования хаотических процессов и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов, мышцы, бронхи и т.д.). Биосенсорные взаимодействия, биение сердца, генерация деревьев, как плоских, так и пространственных (изменяя различные параметры дерева: от ветвистости, толщины ствола и веток до угла наклона веток и цвета листьев) – та небольшая часть, где находят своё применение фракталы. А если приглядеться к паутине – просматриваются и изображения в виде «треугольника Серпинского», а сами действия паука- завораживают. (Видео)

Архитектура

    Вариации фигур на основе треугольника Серпинского использованы в различных архитектурных объектах, и, к примеру, в интерьере синагоги Бен-Эзра, Каир, Египет (Великий Египетский музей, на фасаде которого используется чётко просматриваемый треугольник Серпинского). Четыре первых итерации фрактальных треугольников Серпинского использовались в орнаментах геометрической мозаики стиля косматеско  в средневековых соборах Италии (начиная с XII века), изображения в арабских и персидских интерьерах. В убранствах Старой синагоги в Ульме (на фасаде, во внутренних помещениях используются элементы в виде треугольника Серпинского).

     Оглянемся вокруг и рассмотрим реальные объекты, в орнаментах которых можно заметить фракталы

Красота математики имеет своеобразную природу, и оценить я её неподготовленному обывателю непросто, но возможно. Например, на эффектных и визуально очевидных примерах фракталов, в том числе и треугольника Серпинского, которые мной подмечены и в красоте природных пейзажей, в архитектурных постройках, среди растений, животных и насекомых,  а также в деталях гардероба и интерьере, имеющем геометрические фигуры со свойством самоподобия. Мной продемонстрированы авторские фотографии и авторские видео архитектуры г. Москва под фрактальную музыку. 

​